第九届北京高中数学知识应用竞赛初赛——猫抓老鼠问题

第九届北京高中数学知识应用竞赛初赛

第二题原题：一只老鼠为了躲避猫的追捕，跳入了半径为Ｒ的圆形湖中．猫不会游泳，只能沿湖岸追击，并且总是试图使自己离老鼠最近(即猫总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上)。设猫在陆地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的速度的４倍。问老鼠能否摆脱猫的追击?(如果老鼠上岸时猫不在老鼠上岸的位置，则认为老鼠摆脱了猫的追击．假设猫鼠体力足够。)

解答：

如图，设鼠从A点跳入水中，开始一直往圆心O点游去，这时猫只能在A点处不动。鼠运动过O点后，猫开始沿图中大圆运动。以O为圆心再作一小圆，半径r是大圆半径R的，此时鼠在小圆内始终向着猫和圆心连线的方向远离猫运动，因鼠的速度是猫的速度的，鼠在小圆内沿曲线总能到达小圆周上的一点M，此时猫在大圆周上的B点。此后鼠沿MN直线运动到N点需时间t₁，猫从B点到N点需时间t₂。则：

因为<，所以鼠可以逃脱猫的追捕。

新方案：其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在半径小于R/4的圆内转动，它的角速度就比猫大。鼠从A点沿半径出发后，在进入R/4的圆内后就可开始转动，相同时间转过的角度就比猫大，总会到达离猫最远的地方（即比猫多转180⁰）。此后鼠在转动的同时，再逐渐扩大半径到R/4的圆周上，并保持与猫最远，此后再沿半径方向运动到岸边，猫一定追不上这只鼠的。

从一个word文档转过来的！！！曾经去过一个公司面试，笔试题中有这道题，所以记录下来。

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